| 完 全 数 |
直角三角形の斜辺の２乗は、他の２辺の２乗の和に等しい―――有名なピタゴラスの定理ですが、ピタゴラスが最も大切にしたのが、完全数です。
たとえば、６は１と２と３で割り切れます。そして１＋２＋３＝６です。つまり約数を足すと元の数字になる数を完全数と呼びます。別に不思議には思えないかもしれませんが、次の完全数は２８（１＋２＋４＋７＋１４）です。３番目は４９６です。４番目は８，１２８ ５番目は３３，５５０，３３６ ６番目は８，５８９，８６９，０５６ と、数が大きくなるにつれ、探すのが難しくなっていきます。
それだけではどうと言うこともありませんが、完全数は連続した自然数の和で表すことができる、となると少し「へぇー」という感じです。
６＝１＋２＋３
２８＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７
４９６＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋・・・・・＋３０＋３１
８１２８＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋・・・・・＋１２６＋１２７
こうなると、そこに何らかの法則があるのかが気になってきませんか？
実は ２の１乗×（２の２乗−１）＝ ２×３＝ ６
２の２乗×（２の３乗−１）＝ ４×７＝ ２８
２の４乗×（２の５乗−１）＝１６×３１＝４９６
という法則性があります（８１２８については考えてみて下さい）。この法則性を発見したのがエウクレイデス（ユークリッド）です。
これに対して
４（２の２乗）の約数は１、２ 約数の和＝３
８（２の３乗）の約数は１、２、４ 約数の和＝７
１６（２の４乗）の約数は１、２、４、８ 約数の和＝１５
３２（２の５乗）の約数は１、２、４、８、１６ 約数の和＝３１
このように完全数に１だけ小さい数があります。完全数と同じように２の「べき乗」と関係がありますが、わずかに１足りません。こういう数はたくさんありますが、無数にあるかどうかは証明されていません。一方、約数の和が１だけ大きい数はひとつも見つかっていません。なぜ見つけられないのかを説明することもできていませんし、そんな数が存在しないと証明することもできていません。
特別に難しい数式は必要ではありません。むしろ算数だけの簡単な問題ですが、こんなことが現代数学でも分かっていないのですから、ここが数論の面白い所です。勿論、だからと言って約数の和が１だけ大きい数を私が見つけられるわけではありませんが、その不思議な感じを味わうのが心地よいのです。 |
| フェルマーの最終定理 |
直角三角形の斜辺の２乗は、他の２辺の２乗の和に等しい―――ピタゴラスの定理は様々な図形の面積や長さを求めるために小学校だか、中学校だかで習ったきりです。
あのころは ３の２乗＋４の２乗＝５の２乗 という３、４、５の組み合わせを覚えましたが、これを「ピタゴラスの三つ組み数」と呼びます。（５、１２、１３）、（２０、２１、２９）など、「ピタゴラスの三つ組み数」は無数にあり、２０００年前にエウクレイデスが無数にあることを証明しています。
ところが２乗を３乗に変えるだけで問題は一変します。Ｘの２乗＋Ｙの２乗＝Ｚの２乗 ではなく、Ｘの３乗＋Ｙの３乗＝Ｚの３乗 とするだけで証明が難しくなるのです。そして「フェルマーの最終定理」とは、３乗以上の場合は整数の答えがない、というものです。ピエール・ド・フェルマーがある本（西暦２５０年頃に生きたディオファントスの『算術』）の余白に、「それを証明したが、この余白には書ききれない」という、いらだたしいメモを残して以来、３６０年間にわたって数学者を苦しめてきました。
４乗の場合はフェルマー自身が「無限降下法」による証明を残しています。３乗の場合に整数解がないことはレオンハルト・オイラー（１８世紀最大の数学者）が証明しました。しかし、オイラーの証明までにはフェルマーの死から１００年もの時間が過ぎています。以後、数学者は新しい数学理論を開発しながらフェルマーの最終定理に挑みますが、次の進展は、１８世紀に生まれ、１９世紀に活躍したソフィ・ジェルマンまで待たねばなりません。
女性が学問の道、中でも数学の道に進むことが社会的に容認されていない時代、男性の名を騙って教育を受けるなどの苦労をしながら、大きな成果を上げました。2×n＋1 の答えが素数になるような素数をジェルマンの素数と呼びますが、ｎをジェルマンの素数とすると Ｘのｎ乗＋Ｙのｎ乗＝Ｚのn乗 にはおそらく解がないことを証明したのです。
「おそらく」というのが微妙な所で、ジェルマンの証明に基づいて、１８２５年、ディリクレとルジャンドルの二人が別々に ｎ＝５ の場合に解がないことを証明しました。さらに１８３９年、ガブリエル・ラメが ｎ＝７ の場合を証明しました。
ここまでわずかな進展しかないように見えますが、ｎ＝３の場合が証明されているため、３の倍数はすべて証明されたことになりますし、４の倍数もオイラーのｎ＝４の場合の証明により、すでに証明済みです。もっと重要なことは、すべての数は、素数であるか、素数を掛け合わせた合成数のどちらかであり、従って「フェルマーの最終定理」も素数の場合だけを証明すればよいのです。
しかし素数は無限にあります。このことは２０００年前のエウクレイデスが証明しています。まだ３と５と７の場合が証明されたに過ぎません。
その後、ある種の素数についてはオーギュスタン・ルイ・コーシーやラメによって証明がなされましたが、３１や５９、６７などの「非正則素数」の証明ができないまま、アラン・チューリング（第２次世界大戦で暗号解読に従事、最初のコンピューター製作者）などが機械を使って力づくの計算を行い、「証明」を進めていきました。しかしそれを「証明」と言えるかどうかの議論が残ります。
こうした経過を辿りながら、最終的に「フェルマーの最終定理」が証明されたのは、１９９４年、アンドリュー・ワイルズによってです。ワイルズの証明に至るまでには、実に様々な理論が開発されました。Ｌ系列の谷村＝志村予想（今は定理になっています）、楕円曲線、ヘッケ環、双曲空間のモジュラー形式（保型形式）、岩澤理論、コリヴァギン＝フラッハ法―――私には何のことやら分かりません。
しかしピタゴラスの定理を２乗からｎ乗にするだけで、整数解がないことを示すのに３６０年もかかり、数多くの理論が必要だったなんて、数式が小学生でも理解できるものだけに、証明の物語にわくわくするのです。
ただこの場合、フェルマーの時代にはなかったテクニックで証明されていますから、フェルマー自身の証明とは違うはずです。フェルマーの時代の数学だけを使った証明方法があるのではないか、今も数学愛好者はそうした前提で研究を進めています。しかし、もしかしたらフェルマーの勘違いだったと言うこともあり得るのですが・・・。 |
| 数学小話 サイモン・シン著「フェルマーの最終定理」より |
天文学者と物理学者と数学者（とされている）が、スコットランドで休暇を過ごしていた時のこと、列車の窓からふと原っぱを眺めると、１頭の黒い羊が目にとまった。
天文学者がこう言った。「これは面白い。スコットランドの羊は黒いのだ」
物理学者がこう応じた。「何を言うか。スコットランドの羊の中には黒いものがいるということじゃないか」
数学者は天を仰ぐと、歌うようにこう言った。「スコットランドには少なくとも一つの原っぱが存在し、その原っぱには少なくとも１頭の羊が含まれ、その羊の少なくとも一方の面は黒いと言うことさ」 |
